Форум » Ошибки и неточности » Логарифмы. 6 этаж » Ответить
Логарифмы. 6 этаж
Kvrkin: Вопрос: Равенство lg(ac)=lga + lgс верно только при а=с=1? Почему то в ответе "Да" Можно ведь lg(2*3)=lg2 + lg3 и другие числа взять
Ответов - 20
егэ-тренер: Точно ответ "да"? Не ошиблись? Посмотрю, спасибо...
avm: Случайно наткнулся на ещё одну ошибку (Решения-Логарифмы-Задача 14). Утверждение. Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0. Вопрос: справедливо ли это утверждение? Ответ: нет. Правильный ответ - "да".
Lerner: avm А разве lg(-a) может существовать при а=3, к примеру? Если по модулю - тогда да, конечно, а так тут неверное утверждение.
avm: Lerner При a=-3 lg(-a) не определён. Утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно при a<>0" справедливо. Но если мы добавим слово "только" ("Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0" ), то оно перестанет быть таковым. Смотрите. Шерлок Холмс утверждал, что у всякого порядочного негодяя отличный сон:) Иными словами, если человек является негодяем, то у него должен быть отличный сон: (человек - негодяй) => (у человека отличный сон). Можно сформулировать это утверждение по-другому: "У человека отличный сон, если он негодяй". А теперь заметьте: если мы сюда добавим слово "только", то значок "следовательно" поменяет направление. Утверждение "У человека отличный сон, ТОЛЬКО если он негодяй" можно записать так: (у человека отличный сон) => (человек - негодяй) или так: (человек - негодяй) <= (у человека отличный сон). Вернёмся к логарифмам. Утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0" можно записать так: (Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно) => (a<>0). Это утверждение справедливо: раз выражения a^2 и (-a) стоят под логарифмом, то, конечно, a не равно нулю. А вот утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно при a<>0" (без слова "только") несправедливо (если, конечно, после слова "при" подразумевается слово "любом").
Lerner: avm Нет, ну то, что а не равно нулю - это понятно и само собой разумеется. Но вот "Утверждение. Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0" подразумевает под собой, что при любом а, не равным нулю, равенство состоится. Иначе говоря, верное условие должно выглядеть так: равенство будет верным, только при а<>0 и a<0 в системе. Отсюда имеем, что равенство имеет место быть при a<0 (общее пересечение). Кстати, за негодяев и сон - отдельное спасибо. Улыбнуло. Напоминает логические задачи по информатике, когда вчитываясь в условие, как никогда остро ощущаешь, в чем разница между "и" и "или", к примеру. И вы, несомненно, правы в отношении сна, негодяев и следствий. Но тут все же равенство не состоится. Соблюдено лишь одно из условий. Вспомните хотя бы само определение логарифма. Логарифм вещественного числа loga b имеет смысл при a>0, a<>1, b>0. (c) Википедия.
Remstam: Предлагаю убрать вариант ответа "не знаю" А то как-то довольно-таки веселенько получается...
avm: Lerner Утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0" означает следующее: (Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно) => (a<>0) Это утверждение СПРАВЕДЛИВО (оно НЕ означает, что равенство верно ПРИ ЛЮБОМ отличном от нуля значении a, - здесь утверждается только то, что в область допустимых значений a не входит ноль), в отличие от утверждения (a<>0) => (Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно), что означает: "При (любом) a<>0 равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно" (без слова "только")
Lerner: avm Я не отрицаю того, что при а не равным нулю равенство может состояться, в отличие от условия, скажем, а=0. И в область допустимых значений данное условие, несомненно, входит. Я лишь хочу сказать, что вы, возможно, придаете формулировке то значение, которое могло и не подразумеваться. Ведь вы же согласитесь с тем, что в ОДЗ входит не одно это условие? Хотя, еще раз подчеркну, лишь при данном условии (a<>0) равенство в принципе может состояться. Но "в принципе может" и "верно" - разные вещи. Сама же формулировка идеально подходит для логарифма, взятого от модуля. Вот тогда она на самом деле абсолютно верна и добавить там нечего.
avm: Утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только при a<>0" означает именно то, что написано в моём посте №3. Составитель, видимо, придаёт её другой смысл, вводя тем самым в заблуждение школьников.
Lerner: avm Ладно, давайте попробуем подойти с другого бока. Вот решаете вы систему. В ответе получаете два промежутка, один из которых полностью содержит другой. Вы в ответ пишите все же их общее пересечение или отдельно оба? Подчеркивая, что решение есть только при вот таком условии и при вот таком. Заметьте, равенство будет верно при а<0. То есть условие a<>0 все равно будет учтено. Здесь же допущена неточность в самой формулировке. Она правильна, но лишь отчасти. Заметьте, правильна. Но по самому определению логарифма, следует еще одно дополнение, лишь учтя которое, мы и придем к верному ответу. Иначе говоря, равенство будет верным "только при a<>0 и a<0". Иначе логарифм, как вы сами же мне и подтвердили, вообще не определен, хотя соответствует условию a<>0. Давайте вспомним само определение решения. Решения - это те значения, которые обращают равенство в верное. В нашем случае это, несомненно, множество значений, но не с одной выколотой точкой, а вообще лишь отрицательные значения а. Я бы с вами и спорить не стала, если бы условие было "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) возможно только при a<>0". Тогда вы будете абсолютно правы на счет "только". Но тут равенство должно быть верным. А его верность осуществляется только при условиях, перечисленных выше.
avm: Вы путаете верное утверждение "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно только тогда, когда a<>0" с неверным "Равенство lg(a^2)=2*lg(-a) верно тогда и только тогда, когда a<>0". Предлагаю (если Вы, конечно, не против) перенести наше обсуждение на преподавательский форум на сайте repetitors.info. Думаю, оно может стать полезным и интересным не только для нас с Вами.
Lerner: avm Я не против совершенно. И, возможно, в самом деле путаю. Мне вообще формулировка не нравится изначально =) Не люблю, когда условия задаются словами, а не конкретными неравенствами, промежутками и так далее. Потому что дает возможность разной интерпретации, какую мы с вами и наблюдаем в данном случае.
Lerner: Кстати, в самих решениях этажа 6 равенства вообще - больная тема: Равенство log3(ac)= log3a + log3с верно, если а>0 и c>0 Ответ: нет Равенство log3 a/с = log3a - log3с верно, если а>0 и c>0 Ответ: нет
егэ-тренер: ого. нехорошо... именно в решениях? попробую разобраться
Lerner: егэ-тренер Именно в решениях. На самой лестнице такого не было
Lerner: Равенство lg a/c= lga - lgс верно только при а=с=1 Ответ: да Все тот же 6 этаж
егэ-тренер: Надо же. только сейчас заметила бурную дискуссию... пока не вникла, должна убегать. Но обязательно прочитаю подробно чуть попозже. avm , Вы преподаватель математики? Оставайтесь с нами
avm: Да, я преподаватель:) Добавлю ещё одно сообщение про логарифмы. На 10-м этаже мне попалось утверждение, которое, если не ошибаюсь, выглядело так: "Равенство log5(ac) = log5a + log5c (*) верно при ac>0" Его можно понять по-разному. Первый вариант: "ПРИ ЛЮБЫХ a и c, при которых выполняется неравенство ac>0, равенство (*) верно". Второй вариант: "СУЩЕСТВУЮТ такие a и c, при которых выполняется неравенство ac>0 и равенство (*)". Варианты ответов к задаче о справедливости утверждения были, по-моему, такие: "да", "нет", "возможно", "не знаю". На мой взгляд, первые два ответа следует заменить на такие: "всегда", "никогда". А ещё лучше привести утверждения: "ПРИ ЛЮБЫХ a и c, при которых выполняется неравенство ac>0, равенство (*) верно" "СУЩЕСТВУЮТ такие a и c, при которых выполняется неравенство ac>0 и равенство (*)" "НЕ СУЩЕСТВУЕТ таких a и c, при которых выполняется неравенство ac>0 и равенство (*)" и предложить выбрать верное. В качестве четвёртого утверждения, - ответов ведь должно быть четыре? - можно предложить ещё одно утверждение. Например, такое: "СУЩЕСТВУЮТ такие a и c, при которых выполняются равенства ac=0 и (*)".
егэ-тренер: Ну... я имела в виду утверждение: если ac>0, то log5(ac) = log5a + log5c Является ли утверждение второе следствием первого. Как-то так... Т.е. это Ваш первый вариант. Над четырьмя вариантами подумаю ещё. Что-то в этом есть, безусловно.
avm: А можно, кстати, написать так, как Вы написали сейчас. Именно в таком виде:)
полная версия страницы